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数学 - 知识点

第一章

1.1.1 同底数幂相乘

$a^m·a^n=a^{m+n}$ ($m,n$ 都是整数)
拓展：$a^m·a^n·a^p=a^{m+n+p}$ ($m,n,p$ 都是整数)
文字描述：同底数相乘，底数不变，指数相加
推导过程：
$$ a^m \cdot a^n = \bigl(\underset{m\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) \cdot \bigl(\underset{n\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) = \underset{(m+n)\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}} = a^{m+n} $$ 将 $a^m$ 和 $a^n$ 分解为 $\bigl(\underset{m\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) \cdot \bigl(\underset{n\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr)$ 的形式，再根据乘法结合律，将括号去除，再根据幂的定义将所得结果合并，得到 $a^{m+n}$

注意：需要和“幂的乘方”“积的乘方”“同底数幂相除”区分

1.1.2 幂的乘方

$(a^m)^n = a^{mn}$ ($m,n$ 都是正整数)
拓展：$[ ( a^m )^n ]^p=a^{mnp}$ ($m,n,p$ 都是正整数)
文字描述：幂的乘方，底数不变，指数相乘
推导过程：
$$ (a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n\text{个}a^m} = a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n\text{个}m}} = a^{mn} $$ 将 $(a^m)^n$ 的底数 $a^m$ 看作整体去乘方 $n$ ，得到 $\underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n\text{个}a^m}$ ，再根据 1.1.1 同底数幂相乘 法则，得到 $a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n\text{个}m}}$ ，由于指数是 $n$ 个 $m$ 相加，所以可以合并为 $a^{mn}$

注意：同 1.1.1

1.1.3 积的乘方

$(ab)^n = a^nb^n$ ($n$ 是正整数)
拓展：$(abc)^n = a^nb^nc^n$ ($n$ 是正整数)
文字描述：积的乘方等于把积的每一个因式分别与括号外的幂去乘方，再把所得幂相乘推导过程：

\[ \begin{aligned} (ab)^n &= \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot (ab) \cdots (ab) \cdot (ab)}_{n\text{个}ab} \\ &= \underbrace{(a \cdot a \cdot a \cdots a \cdot a)}_{n\text{个}a} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdot b \cdots b \cdot b)}_{n\text{个}b} \\ &= a^nb^n \end{aligned} \]

将 $(ab)^n$ 的底数 $(ab)$ 看作整体，再根据 幂的定义 分解为 $\underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdots (ab) }_{n\text{个}ab}$ ，再根据 乘法结合律 和 乘法交换律 写成 $\underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_{n\text{个}a} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdots b )}_{n\text{个}b}$ ，最后再根据 幂的定义 合并为 $a^nb^n$ 。

注意：同 1.1.1。及底数的因式的指数是相乘，不是相加

1.1.4 同底数幂的除法

普通的同底数幂的除法

$a^m \div a^n =a^{m-n}$($a \neq 0$，$m$，$n$都是整数)
拓展：$a^m \div a^n \div a^p = a^{m-n-p}$($a \neq 0$，$m$，$n$都是整数，且 $m>n$) 文字描述：同底数幂相除，底数不变，指数相减
推导过程：

\[ 由 10^{12} \div 10^9, 10^m \div 10^n, (-3)^m \div (-3)^n 得出 \]

零指数幂

$a^0=1$($a \neq 0$)
推导过程：

\[ a^m \div a^m = 1 \\ ∵ 两个相同指数相同底数的幂相除，得1 \\ ∴ a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0 = 1 \]

负指数幂

$a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ ($a \neq 0$，$p$是正整数)

小于 $1$ 的正数或大于 $-1$ 的负数的科学计数法形式

\[ 0.00\cdots0a = a \times 10^{-(n+1)} \]

文字描述：
一个小于$1$的正数可以表示为$a \times 10^n$的形式，其中 $1 \leq a < 10$ ，$n$ 是负整数；大于 $-1$ 的负数也可以用类似的方法表示，只需要在前面加上负号即可

1.2.1 单项式与单项式相乘

文字描述：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

1.2.2 单项式与多项式相乘

文字描述：
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

1.2.3 多项式与多项式相乘

文字描述：
多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的 每一项 乘另一个多项式的 每一项，再把所得的积 相加。

1.3.1 平方差公式

\[ (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \]

文字描述：
两数和 与这两数 差的积 ，等于它们的 平方差 。

1.3.2 完全平方公式

完全平方和公式

\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]

文字描述：
- 两数和的平方等于这两数的 平方和 加上这两数 积的两倍 。
完全平方差公式

\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]

文字描述：
- 两数和的平方等于这两数的 平方和 减去这两数 积的两倍 。
总述为：

\[ (a±b)^2a^2±2ab+b^2 \]

口诀：
- 首平方，尾平方， 积的二倍 在中央。

1.3.3 完全平方公式的应用

略

1.4.1 单项式除以单项式

文字描述：
单项式相除，把 系数、同底数幂 分别相除 后，作为 商的因式 ；对于只在 被除式里含有的字母 ，则连同它的 指数 一起作为商的因式。

1.4.2 多项式除以单项式

文字描述： 多项式除以单项式，先把这个多项式的 每一项 分别除以 单项式 ，再把所得的商 相加。

📝 本页贡献者：吴金宇
🕐 最后更新：2026年4月24日22:55
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