数学 - 知识点
第一章
1.1.1 同底数幂相乘
\(a^m·a^n=a^{m+n}\) (\(m,n\) 都是整数)
拓展：\(a^m·a^n·a^p=a^{m+n+p}\) (\(m,n,p\) 都是整数)
文字描述：同底数相乘，底数不变，指数相加
推导过程：
$$
a^m \cdot a^n = \bigl(\underset{m\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) \cdot \bigl(\underset{n\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) = \underset{(m+n)\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}} = a^{m+n}
$$
将 \(a^m\) 和 \(a^n\) 分解为 \(\bigl(\underset{m\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr) \cdot \bigl(\underset{n\text{个}a}{\underbrace{a \cdot a \cdots a}}\bigr)\) 的形式，再根据乘法结合律，将括号去除，再根据幂的定义将所得结果合并，得到 \(a^{m+n}\)
1.1.2 幂的乘方
\((a^m)^n = a^{mn}\) (\(m,n\) 都是正整数)
拓展：\([ ( a^m )^n ]^p=a^{mnp}\) (\(m,n,p\) 都是正整数)
文字描述：幂的乘方，底数不变，指数相乘
推导过程：
$$
(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n\text{个}a^m} = a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n\text{个}m}} = a^{mn}
$$
将 \((a^m)^n\) 的底数 \(a^m\) 看作整体去乘方 \(n\) ，得到 \(\underbrace{a^m \cdot a^m \cdots a^m}_{n\text{个}a^m}\) ，再根据 1.1.1 同底数幂相乘 法则，得到 \(a^{\overbrace{m + m + \cdots + m}^{n\text{个}m}}\) ，由于指数是 \(n\) 个 \(m\) 相加 ，所以可以合并为 \(a^{mn}\)
注意：同 1.1.1
1.1.3 积的乘方
\((ab)^n = a^nb^n\) (\(n\) 是正整数)
拓展：\((abc)^n = a^nb^nc^n\) (\(n\) 是正整数)
文字描述：积的乘方等于把积的每一个因式分别与括号外的幂去乘方，再把所得幂相乘
推导过程：
将 \((ab)^n\) 的底数 \((ab)\) 看作整体，再根据 幂的定义 分解为 \(\underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdots (ab) }_{n\text{个}ab}\) ，再根据 乘法结合律 和 乘法交换律 写成 \(\underbrace{(a \cdot a \cdots a)}_{n\text{个}a} \cdot \underbrace{(b \cdot b \cdots b )}_{n\text{个}b}\) ，最后再根据 幂的定义 合并为 \(a^nb^n\) 。
注意：同 1.1.1。及底数的因式的指数是相乘，不是 相加
1.1.4 同底数幂的除法
普通的同底数幂的除法
\(a^m \div a^n =a^{m-n}\)(\(a \neq 0\)，\(m\)，\(n\)都是整数)
拓展：\(a^m \div a^n \div a^p = a^{m-n-p}\)(\(a \neq 0\)，\(m\)，\(n\)都是整数，且 \(m>n\))
文字描述：同底数幂相除，底数不变，指数相减
推导过程：
零指数幂
\(a^0=1\)(\(a \neq 0\)) 推导过程：
负指数幂
\(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\) (\(a \neq 0\)，\(p\)是正整数)
小于 \(1\) 的正数或 大于 \(-1\) 的负数的科学计数法形式
文字描述：一个小于\(1\)的正数可以表示为\(a \times 10^n\)的形式，其中 \(1 \leq a < 10\) ，\(n\) 是负整数；大于 \(-1\) 的负数也可以用类似的方法表示，只需要在前面加上负号即可
1.2.1 单项式与单项式相乘
写不动了，不写了
📝 本页贡献者：吴金宇
🕐 最后更新：2026年3月28日11:28
💡 反馈：如有问题，欢迎指正~
笔记内容参考自课堂讲解及教材，如有错误或补充，请联系我。